ปรากฏการณ์คอมป์ตัน

ปรากฏการณ์คอมป์ตัน

ปรากฏการณ์คอมป์ตันคือ

เมื่อยิงรังสีเอกซ์ใส่วัตถุแล้วจะเกิดการกระเจิงครับ แต่ว่าในบรรดารังสีเอกซ์ที่กระเจิงออกมานั้น จะมีรังสีเอกซ์ที่มีความยาวคลื่นมากกว่าความยาวคลื่นของรังสีเอกซ์ที่ตกกระทบรวมอยู่ด้วยครับ เรียกปรากฏการณ์นี้ว่าปรากฏการณ์คอมป์ตันครับ＊ นักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน ปี1892-ปี1962 อาร์เทอร์ คอมป์ตันทำการค้นพบครับ

เรียกการกระเจิงที่เกิดจากปรากฏการณ์คอมป์ตันว่า การกระเจิงคอมป์ตัน ครับ

ยังมีกรณีที่ ในบรรดารังสีเอกซ์ที่กระเจิงออกมานั้น มีรังสีเอกซ์ที่มีความยาวคลื่นสั้นกว่าความยาวคลื่นของรังสีเอกซ์ที่ตกกระทบรวมอยู่ อีกด้วย กรณีนี้ถูกเรียกว่า ปรากฏการณ์คอมป์ตันย้อนกลับครับ ไม่อยู่ในเนื้อหาฟิสิกส์มัธยมปลายครับ ปิด 。หากว่ารังสีเอกซ์นั้นเป็นเพียงแค่คลื่นแท้ ๆ แล้ว ความยาวคลื่นของรังสีเอกซ์ตกกระทบ กับของรังสีเอกซ์ที่กระเจิงก็ควรจะเท่ากันครับ แต่เราสันนิษฐานว่า เหตุที่ไม่เป็นเช่นนั้นก็เพราะว่ารังสีเอกซ์นั้นมีสมบัติความเป็นอนุภาค และพลังงานของรังสีเอกซ์ลดลงหลังจากเข้าชน (=ความถี่น้อยลง = ความยาวคลื่นมากขึ้น ＊ ในสมการพลังงานที่เขียนด้านล่างนี้
　　\(E\) = \(hν\) = \(\large{\frac{hc}{λ}}\)
การที่ \(E\) มีค่าน้อยลงก็หมายความว่า \(ν\) มีค่าน้อยลง \(λ\) มีค่ามากขึ้นครับ \(h\) และ \(c\) เป็นค่าคงตัวครับ ปิด ）ครับ

พลังงานและโมเมนตัมของโฟตอน

คอมป์ตันคิดว่ารังสีเอกซ์เป็นสายธารของอนุภาคที่เรียกว่าโฟตอน และกฏการอนุรักษ์พลังงานและกฏการอนุรักษ์โมเมนตัม ของก่อนและหลังการชนเป็นจริงครับ

เมื่อกำหนดให้พลังงานของโฟตอน1ตัวเป็น \(E\) [J]、ค่าคงที่ของพลังค์เป็น \(h\) [J⋅s]、ความถี่เป็น \(ν\) [Hz]、ความยาวคลื่นเป็น \(λ\) [m]、ความเร็วแสงเป็น \(c\) [m/s] จากสมมติฐานโฟตอน (Photon Hypothesis) จะได้ว่าพลังงานของโฟตอนเท่ากับ

　　　　\(E\) = \(hν\) = \(\large{\frac{hc}{λ}}\)

ครับ

สำหรับโมเมนตัมของโฟตอน1ตัวนั้น แทนสมการสัมพัทธภาพ \(E\) = \(mc\)² ลงไปในสมการด้านบน จะได้

　　　　\(mc\)² = \(hν\)

หารด้วย \(c\) ตลอดสองฝั่งจะได้

　∴　　\(mc\) = \(\large{\frac{hν}{c}}\)

ด้านซ้ายคือมวลxความเร็ว ดังนั้นปริมาณนี้คือโมเมนตัมครับ และเมื่อกำหนดให้ค่านี้เป็น \(p\) แล้วจะได้ว่า

โมเมนตัมของโฟตอน1ตัว

　\(p\) = \(\large{\frac{hν}{c}}\) = \(\large{\frac{h}{λ}}\)

ครับ เป็นการพิสูจน์ที่มาแบบค่อนข้างเร่งรีบครับ สำหรับที่มาแบบรัดกุมไปศึกษาที่มหาวิทยาลัยนะครับ＊ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อาจจะสงสัยสินะครับว่า \(\large{\frac{1}{2}}\) นั้นหายไปไหนแล้ว
พลังงานจลน์ของวัตถุคือ
　　\(\large{\frac{1}{2}}\)\(mv\)²
และ โมเมนตัมคือ
　　\(mv\)
ดังนั้นเมื่อคูณ 2 และหารด้วยความเร็ว \(v\) ที่นิพจน์พลังงานจลน์แล้วก็ควรจะได้โมเมนตัมออกมาครับ แต่ในกรณีของโฟตอนนั้น กลายเป็นว่าแค่หารด้วยความเร็ว \(c\) อย่างเดียวก็พอครับ
สิ่งนี้เป็นผลมาจากความแตกต่างระหว่าง \(v\) กับ \(c\) ครับ แต่นั่นก็ไม่ได้แปลว่า \(v\) = \(\large{\frac{1}{2}}\)\(c\) ด้วยนะครับ เป็นเรื่องที่ค่อนข้างยาก ผมไม่สามารถอธิบายได้ครับ ไปศึกษาที่มหาวิทยาลัยนะครับ ปิด 。

สำหรับหน่วยนั้น จาก \(p\) = \(\large{\frac{h}{λ}}\) จะได้ว่า [J⋅s/m] ครับ แน่นอนว่าเท่ากับ [kg⋅m/s] ด้วยครับ

＊ การจำสมการนั้นเป็นเรื่องยากลำบากครับ แต่ก่อนอื่น ให้จำว่า \(E\) = \(hν\),(และเพราะโมเมนตัมคือการหารพลังงานจลน์ด้วยความเร็ว) จึงได้ว่า \(p\) = \(\large{\frac{hν}{c}}\)　ออกมาก่อน จากนั้นแทนต่อด้วยสมการ \(c\) = \(νλ\) ซึ่งเป็นสมการในรูป \(v\) = \(fλ\) เข้าไปเพื่อให้ได้สมการอีกอันออกมานะครับ ปิด

คอมป์ตันคิดว่าปริมาณ \(E\) กับ \(p\) นี้แหละครับ ที่คงที่ตลอดก่อนและหลังการชนครับ

หาว่าความยาวคลื่น"ยืด"ออกเท่าไหร่ด้วยกฏอนุรักษ์พลังงานและกฏอนุรักษ์โมเมนตัม

รูปซ้ายมือนี้แสดงฉากที่โฟตอนรังสีเอกซ์ 1 ตัวพุ่งเข้าชนอิเล็กตรอน 1 ตัวและกระเจิงออกครับ＊ สำหรับวัสดุที่จะให้รังสีเอกซ็พุ่งเข้าชนนั้น คอมป์ตันเลือกใช้แกรไฟต์ (แร่ดินสอดำ) ครับ นอกจากนี้ก็ยังเลือกใช้โลหะทองแดงและโลหะเงินด้วย แต่ว่าต่อให้ใช้วัสดุพวกนั้น ขนาดของความยาวคลื่นที่เปลี่ยนแปลงไป (\(Δλ\)) ก็ไม่แตกต่างกันครับ ปิด

ทีนี้ กรณีที่พลังงานของโฟตอนน้อยมาก ๆ จนพลังงานทั้งหมดของโฟตอนถูกดูดซับไปในรูปของพลังงานจลน์ของอิเล็กตรอน คือปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก แต่ว่าในกรณีที่พลังงานของโฟตอนเยอะมาก ๆ จนต่อให้หลังจากชนกับอิเล็กตรอนแล้ว โฟตอนก็ยังมีพลังงานเหลืออยู่และกระเจิงออกไปนั้น คือปรากฏการณ์คอมป์ตันครับ (อธิบายแบบหยาบ ๆ นะครับ)

กำหนดให้ความยาวคลื่นของรังสีเอกซ์ที่กระเจิงออกเป็น \(λ'\) [m]、ความถี่เป็น \(ν\ '\) [Hz]、มุมระหว่างแนวตกกระทบกับแนวกระเจิงโฟตอน (มุมกระเจิง) เป็น \(φ\)ฟี มวลของอิเล็กตรอนเป็น \(m\) [kg]、ความเร็วอิเล็กตรอนหลังถูกชนเป็น \(v\) [m/s]、มุมระหว่างแนวตกกระทบกับแนวที่อิเล็กตรอนกระเด็นออกไปเป็น \(θ\) ครับ

（การคำนวณด้านล่างนี้ยาวครับ แต่ว่าเนื้อหานั้นง่าย ๆ ครับ ถ้าสมการมันถูกดันขึ้นบรรทัดใหม่แล้วอ่านยาก ให้เอียงมือถือดูแนวนอนแทนนะครับ）

（กฏการอนุรักษ์พลังงาน）
　　พลังงานก่อนชนคือ

　　　　\(\large{\frac{hc}{λ}}\)

　　พลังงานหลังชนคือ

　　　　\(\large{\frac{hc}{λ'}}\) + \(\large{\frac{1}{2}}\)\(mv\)²

เมื่อให้พลังงานถูกอนุรักษ์จะได้ว่า

　　　　\(\large{\frac{hc}{λ}}\) = \(\large{\frac{hc}{λ'}}\) + \(\large{\frac{1}{2}}\)\(mv\)²　　＊ （วิธีเขียนอีกวิธีหนึ่งซึ่งใช้ \(ν\)）

　พลังงานก่อนชนคือ
　　\(hν\)
　พลังงานหลังชนคือ
　　\(hν\ '\) + \(\large{\frac{1}{2}}\)\(mv\)²
เมื่อให้พลังงานถูกอนุรักษ์จะได้ว่า
　　\(hν\) = \(hν\ '\) + \(\large{\frac{1}{2}}\)\(mv\)² ปิด 　……①

（กฏการอนุรักษ์โมเมนตัมในแนวตกกระทบ）
　　โมเมนตัมก่อนชนคือ

　　　　\(\large{\frac{h}{λ}}\)

　　โมเมนตัมหลังชนคือ

　　　　\(\large{\frac{h}{λ'}}\)cos\(φ\) + \(mv\)cos\(θ\)

เมื่อให้โมเมนตัมถูกอนุรักษ์จะได้ว่า

　　　　\(\large{\frac{h}{λ}}\) = \(\large{\frac{h}{λ'}}\)cos\(φ\) + \(mv\)cos\(θ\)　　＊ （วิธีเขียนอีกวิธีหนึ่งซึ่งใช้ \(ν\)）

　โมเมนตัมก่อนชนคือ
　　\(\large{\frac{hν}{c}}\)
　โมเมนตัมหลังชนคือ
　　\(\large{\frac{hν\ '}{c}}\)cos\(φ\) + \(mv\)cos\(θ\)
เมื่อให้โมเมนตัมถูกอนุรักษ์จะได้ว่า
　　\(\large{\frac{hν}{c}}\) = \(\large{\frac{hν\ '}{c}}\)cos\(φ\) + \(mv\)cos\(θ\) ปิด 　……②

（กฏการอนุรักษ์โมเมนตัมในแนวที่ตั้งฉากกับแนวตกกระทบ）
　　โมเมนตัมก่อนชนคือ

　　　　0

　　โมเมนตัมหลังชนคือ

　　　　\(\large{\frac{h}{λ'}}\)sin\(φ\) - \(mv\)sin\(θ\)

เมื่อให้โมเมนตัมถูกอนุรักษ์จะได้ว่า

　　　　0 = \(\large{\frac{h}{λ'}}\)sin\(φ\) - \(mv\)sin\(θ\)　　＊ （วิธีเขียนอีกวิธีหนึ่งซึ่งใช้ \(ν\)）

　โมเมนตัมก่อนชนคือ
　　0
　โมเมนตัมหลังชนคือ
　　\(\large{\frac{hν\ '}{c}}\)sin\(φ\) - \(mv\)sin\(θ\)
เมื่อให้โมเมนตัมถูกอนุรักษ์จะได้ว่า
　　0 = \(\large{\frac{hν\ '}{c}}\)sin\(φ\) - \(mv\)sin\(θ\) ปิด 　……③

＊ （อีกวิธี）
การที่โมเมนตัม (โมเมนตัมเป็นปริมาณเว็กเตอร์) ถูกอนุรักษ์หมายความว่า

　　\(\vec{p}\) = \(\vec{p'}\) + \(\vec{p_e}\)
ครับ หรือก็คือ

　　0 = \(\vec{p'}\) + \(\vec{p_e}\) - \(\vec{p}\)
ครับ นี่ก็คือการที่เว็กเตอร์ 3 อันประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมที่ปิดสนิทพอดีนั่นเองครับ และจาก

กฏของโคไซน์（\(a\)² = \(b\)² + \(c\)² - 2\(bc\) cos\(α\)）ได้ว่า
　　(\(mv\))² = \(\Big(\)\(\large{\frac{h}{λ}}\)\(\Big)^2\) + \(\Big(\)\(\large{\frac{h}{λ'}}\)\(\Big)^2\) - 2\(\Big(\)\(\large{\frac{h}{λ}}\)\(\Big)\)\(\Big(\)\(\large{\frac{h}{λ'}}\)\(\Big)\) cos\(φ\)
ครับ
ถ้านำสมการนี้ไปแทนในสมการ ①' ด้านล่าง ก็จะกลายเป็นสมการ ⑤ ครับ
ถ้าเลือกใช้กฏของโคไซน์ การคำนวณก็จะง่ายขึ้นเล็กน้อยครับ ปิด

　

แปลงรูปสมการ ②

　　　　\(mv\)cos\(θ\) = \(\large{\frac{h}{λ}}\) - \(\large{\frac{h}{λ'}}\)cos\(φ\)　　ยกกำลัง2ทั้งสองข้าง

　　　　(\(mv\))²cos²\(θ\) = \(\Big(\)\(\large{\frac{h}{λ}}\) - \(\large{\frac{h}{λ'}}\)cos\(φ\)\(\Big)^2\)　　……②'

แปลงรูปสมการ ③

　　　　\(mv\)sin\(θ\) = \(\large{\frac{h}{λ'}}\)sin\(φ\)　　ยกกำลัง2ทั้งสองข้าง

　　　　(\(mv\))²sin²\(θ\) = \(\Big(\)\(\large{\frac{h}{λ'}}\)sin\(φ\)\(\Big)^2\)　　……③'

บวกสมการ ②' กับสมการ ③' จะได้

　　　　(\(mv\))²cos²\(θ\) + (\(mv\))²sin²\(θ\) = \(\Big(\)\(\large{\frac{h}{λ}}\) - \(\large{\frac{h}{λ'}}\)cos\(φ\)\(\Big)^2\) + \(\Big(\)\(\large{\frac{h}{λ'}}\)sin\(φ\)\(\Big)^2\)

เนื่องจาก cos²\(θ\) + sin²\(θ\) = 1

　　　　(\(mv\))² = \(\Big(\)\(\large{\frac{h}{λ}}\) - \(\large{\frac{h}{λ'}}\)cos\(φ\)\(\Big)^2\) + \(\Big(\)\(\large{\frac{h}{λ'}}\)sin\(φ\)\(\Big)^2\)　　……④

　

แปลงรูปสมการ ①

　　　　\(\large{\frac{1}{2}}\)\(mv\)² = \(\large{\frac{hc}{λ}}\) - \(\large{\frac{hc}{λ'}}\)　　คูณด้วย 2\(m\) ทั้งสองฝั่ง

　　　　(\(mv\))² = 2\(m\)\(\Big(\)\(\large{\frac{hc}{λ}}\) - \(\large{\frac{hc}{λ'}}\)\(\Big)\)　　……①'

　

นำสิ่งนี้ไปแทนในสมการ ④

　　　　2\(m\)\(\Big(\)\(\large{\frac{hc}{λ}}\) - \(\large{\frac{hc}{λ'}}\)\(\Big)\) = \(\Big(\)\(\large{\frac{h}{λ}}\) - \(\large{\frac{h}{λ'}}\)cos\(φ\)\(\Big)^2\) + \(\Big(\)\(\large{\frac{h}{λ'}}\)sin\(φ\)\(\Big)^2\)

　∴　　2\(mhc\)\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\) - \(\large{\frac{1}{λ'}}\)\(\Big)\) = \(h\)²\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\) - \(\large{\frac{1}{λ'}}\)cos\(φ\)\(\Big)^2\) + \(h\)²\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)sin\(φ\)\(\Big)^2\)

　∴　　\(\large{\frac{2mc}{h}}\)\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\) - \(\large{\frac{1}{λ'}}\)\(\Big)\) = \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\) - \(\large{\frac{1}{λ'}}\)cos\(φ\)\(\Big)^2\) + \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)sin\(φ\)\(\Big)^2\)

　　　　　　　　　　　　= \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\)\(\Big)^2\) - 2\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\)\(\Big)\)\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)cos\(φ\)\(\Big)\) + \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)cos\(φ\)\(\Big)^2\) + \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)sin\(φ\)\(\Big)^2\)

\(\Big(\)เนื่องจาก cos²\(φ\) + sin²\(φ\) = 1\(\Big)\)

　　　　　　　　　　　　= \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\)\(\Big)^2\) - 2\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\)\(\Big)\)\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)cos\(φ\)\(\Big)\) + \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)\(\Big)^2\)

　　　　　　　　　　　　= \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\)\(\Big)^2\) + \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)\(\Big)^2\) - 2\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\)\(\Big)\)\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)cos\(φ\)\(\Big)\)　　……⑤

　　　　　　　　　　　　= \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\)\(\Big)^2\) + \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)\(\Big)^2\) - 2\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\)\(\Big)\)\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)\(\Big)\) + 2\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\)\(\Big)\)\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)\(\Big)\) - 2\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\)\(\Big)\)\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)cos\(φ\)\(\Big)\)

　　　　　　　　　　　　= \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\) - \(\large{\frac{1}{λ'}}\)\(\Big)^2\) + 2\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\)\(\Big)\)\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)\(\Big)\) - 2\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\)\(\Big)\)\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ'}}\)cos\(φ\)\(\Big)\)

　　　　　　　　　　　　= \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\) - \(\large{\frac{1}{λ'}}\)\(\Big)^2\) + \(\large{\frac{2}{λλ'}}\)(1 - cos\(φ\))

　⇔　　\(\large{\frac{2mc}{h}}\)\(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\) - \(\large{\frac{1}{λ'}}\)\(\Big)\) = \(\Big(\)\(\large{\frac{1}{λ}}\) - \(\large{\frac{1}{λ'}}\)\(\Big)^2\) + \(\large{\frac{2}{λλ'}}\)(1 - cos\(φ\))

　∴　　\(\large{\frac{2mc}{h}}\)\(\Big(\)\(\large{\frac{λ'-λ}{λλ'}}\)\(\Big)\) = \(\Big(\)\(\large{\frac{λ'-λ}{λλ'}}\)\(\Big)^2\) + \(\large{\frac{2}{λλ'}}\)(1 - cos\(φ\))

\(\Big(\)ในกรณีที่ ผลต่างของ \(λ\) กับ \(λ'\) นั้น น้อยมาก ๆ เมื่อเทียบกับ \(λ\) แต่ก็ไม่ถึงขั้นสามารถประมาณ \(λ'\) - \(λ\) เป็น 0 ได้ก็จริง แต่สามารถมองว่า (\(λ'\) - \(λ\))² นั้นมีค่าเกือบ 0 ได้เลยนั้น\(\Big)\)

　⇔　　\(\large{\frac{2mc}{h}}\)\(\Big(\)\(\large{\frac{λ'-λ}{λλ'}}\)\(\Big)\) = 0 + \(\large{\frac{2}{λλ'}}\)(1 - cos\(φ\))

　∴　　\(\large{\frac{mc}{h}}\)(\(λ'\) - \(λ\)) = (1 - cos\(φ\))

　∴　　\(λ'\) - \(λ\) = \(\large{\frac{h}{mc}}\)(1 - cos\(φ\))

ความยาวคลื่นที่เปลี่ยนไปสำหรับปรากฏการณ์คอมป์ตัน（ขนาดของการ"ยืดออก"ของความยาวคลื่น）\(⊿λ\) = \(λ'\) - \(λ\) นั้น สามารถบรรยายด้วยมุมกระเจิง \(φ\) ได้ดังต่อไปนี้ครับ

ขนาดของการ"ยืดออก"ของความยาวคลื่นสำหรับปรากฏการณ์คอมป์ตัน

　\(⊿λ\) = \(\large{\frac{h}{mc}}\)(1 - cos\(φ\))

สมการนี้สอดคล้องกับผลการทดลองเป็นอย่างมากครับ ดังนั้นการมองรังสีเอกซ์ให้เป็นอนุภาคและ การที่พบว่ากฏอนุรักษ์พลังงานกับกฏอนุรักษ์โมเมนตัมเป็นจริงนั้น ก็แปลว่าสิ่งที่คอมป์ตันตั้งสมมติฐานไว้ตอนแรก ได้รับการพิสูจน์ว่าสมเหตุสมผลนั่นเองครับ (*หมายเหตุผู้แปล: สรุปคือรังสีเอ็กซ์มีสมบัติความเป็นอนุภาคครับ เนื่องจาก สมการสุดท้ายที่เราได้ออกมา (ซึ่งคือ ผลที่ได้ จากการตั้งสมมติฐานว่ารังสีเอ็กซ์มีสมบัติความเป็นอนุภาค (=กฏอนุรักษ์พลังงานกับกฏอนุรักษ์โมเมนตัมทำงานได้)) มันสอดคล้องกับค่าจากการทดลองในโลกจริง เราเลยสรุปได้ว่า สมมติฐานที่ว่ารังสีเอ็กซ์มีสมบัติความเป็นอนุภาค นั้นสมเหตุสมผล)

นอกจากนี้ เมื่อลองดูด้านขวาของสมการนี้ดี ๆ จะเห็นว่ามันประกอบจากค่าคงตัวทั้งนั้นเลยครับ ทั้ง \(h\) และ \(m\) และ \(c\) ล้วนเป็นค่าคงตัวครับ ไม่มีปริมาณที่เกี่ยวข้องกับชนิดของวัสดุเลย และความยาวคลื่นของรังสีเอ็กซ์ที่ตกกระทบ \(λ\) ก็ไม่ได้โผล่ออกมาด้วยครับ ขนาดของการ"ยืดออก"ของความยาวคลื่นสำหรับปรากฏการณ์คอมป์ตันนั้นถูกกำหนดโดยมุมกระเจิง \(φ\) เพียงอย่างเดียวนั่นเองครับ＊ ยิ่ง \(φ\) มากเท่าไหร่ การยืดออก \(⊿λ\) ก็จะมากขึ้นเท่านั้นครับ และที่ \(φ\) = 180° จะมีค่ามากที่สุดครับ

\(⊿λ\) ที่มุม \(φ\) = 90° นั้นเรียกว่า ความยาวคลื่นคอมป์ตัน ครับ
เมื่อแทนค่าคงตัวของพลังค์ \(h\) = 6.6×10^-34 [J⋅s]、มวลของอิเล็กตรอน \(m\) = 9.1×10^-31 [kg]、ความเร็วแสง \(c\) = 3.0×10⁸ [m/s]、\(φ\) = 90° ลงในสมการข้างต้น จะได้
　　\(⊿λ\) = \(\large{\frac{6.6×10^{-34}}{9.1×10^{-31}×3.0×10^{8}}}\)(1 - 0)
　　　　= \(\large{\frac{2.2}{9.1}}\)×10^-34+31-8
　　　　≒ 0.24×10^-11
　　　　= 2.4×10^-12 [m]
นี่คือความยาวคลื่นคอมป์ตันครับ บ้างก็เรียกว่า「ความยาวคลื่นคอมป์ตันของอิเล็กตรอนครับ」
ปิด 。