เลนส์นูน
ภาพที่เลนส์นูนสร้างขึ้น
หาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณ 3 ตัว
จะลองคิดถึงความสัมพันธ์ของตัวแปรสามตัวนี้สำหรับเลนส์นูนดูครับ
ระยะจากวัตถุถึงเลนส์ \(:a\)
ระยะจากเลนส์ถึงภาพ \(:b\)
ระยะโฟกัส \(:f\)
จำนวนของรังสีแสงที่จะพิจารณาไม่ใช่ 3 เส้น แต่เป็น 2 เส้นนะครับ เพียงแค่ 2 เส้นก็สามารถหาความสัมพันธ์ของทุกปริมาณข้างต้น ออกมาได้ครับ
เวลาที่วางวัตถุไว้ไกลจากจุดโฟกัสออกไป
จะกำหนดตัวแปรดังในรูปด้านซ้าย โดยให้ระยะจากวัตถุถึงเลนส์นูนเป็น \(a\) ระยะจากเลนส์นูนถึงภาพเป็น \(b\) ระยะโฟกัสของเลนส์นูนเป็น \(f\) ครับ
เส้นสีแดงในรูปด้านซ้ายคือเส้นที่อ้างอิงจากหลักข้อ (1), (2) ของบท ภาพที่เกิดจากเลนส์ (เลนส์นูน) ครับ และเพราะว่าเส้นที่อ้างอิงจากหลักข้อ (3) ไม่มีความจำเป็นจึงไม่ได้วาดไว้ครับ
เนื่องจาก \(\triangle {\rm AA’O}\) คล้ายกับ \(\triangle {\rm BB’O}\) ดังนั้น
\(\color{#b63}{\large{\frac{\mathrm{BB}^{\prime}}{\mathrm{AA}^{\prime}}}}=\large{\frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{O}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}}}=\large{\frac{b}{a}}\hspace{12pt} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot ①\)
นอกจากนี้ เนื่องจาก \({\rm AA'}={\rm PO}\) และ \(\triangle {\rm POF_{2}}\) คล้ายกับ \(\triangle {\rm BB’F_{2}}\) ดังนั้น
\({\color{brown}{\large\frac{\mathrm{BB}^{\prime}}{\mathrm{AA}^{\prime}}}}={\large{\frac{\mathrm{BB}^{\prime}}{\mathrm{PO}}}}={\large{\frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{F}_{2}}{\mathrm{OF}_{2}}}}={\large{\frac{b-f}{f}}}\)
ดังนั้นแล้ว
\begin{align} \large{\frac{b}{a}}&=\large{\frac{b-f}{f}} \\ &=\large{\frac{b}{f}}-1 \hspace{18pt} (หารด้วย \;b\; ทั้งสองข้าง)\\ \therefore \hspace{12pt}\large{\frac{1}{a}}&=\large{\frac{1}{f}}-\large{\frac{1}{b}} \\ \end{align} \begin{align} \therefore \hspace{12pt}\large{\frac{1}{a}}+\large{\frac{1}{b}}&=\large{\frac{1}{f}}\hspace{12pt} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot ② \end{align}
เรียก สมการ \(②\) ว่าสูตรของเลนส์ หรือ สูตรการเกิดภาพครับ
เรียก \(①\) ว่า กำลังขยาย ของเลนส์หรือกำลังขยายภาพ และใช้จะแทนด้วย \(m\) ครับ มาจาก magnification (กำลังขยาย)
\(m=\color{#b63}{\large{\frac{\mathrm{BB}^{\prime}}{\mathrm{AA}^{\prime}}}}=\large{\frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{O}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}}}=\large{\frac{b}{a}}\)
จะลองดูศึกษารายละเอียดของสูตรต่าง ๆ เหล่านี้ดูครับ
เวลาที่ \(a>b\) นั่นคือ \(m<1\)
จะหาค่า \(b\) จากสมการ \(②\)
\begin{align}
\hspace{12pt}\large{\frac{1}{a}}&+\large{\frac{1}{b}}=\large{\frac{1}{f}} \\
\therefore \hspace{12pt}\large{\frac{1}{b}}&=\large{\frac{1}{f}}-\large{\frac{1}{a}} \\
&=\large{\frac{a-f}{fa}} \\
\therefore \hspace{12pt}b&=\large{\frac{fa}{a-f}}
\hspace{12pt} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot ③
\end{align}
นำไปแทนในอสมการ \(a>b\) ได้ว่า
\begin{align}
\hspace{18pt}a&>\large{\frac{fa}{a-f}} \\
\therefore \hspace{12pt}1&>\large{\frac{f}{a-f}} \\
\therefore \hspace{12pt}\large{a}&\large{-f>f} \\
\end{align}
\(\large{\therefore\hspace{12pt}a>2f}\)
ถ้าวาดภาพอธิบายเหตุการณ์นี้จะได้ดังรูปด้านล่างครับ
เวลาที่อยากจะทำให้กำลังขยายน้อยกว่า \(1.0\) จำเป็นจะต้องวางวัตถุไว้ไกลกว่า 2 เท่าของระยะโฟกัสครับ
ในรูปด้านซ้าย \(\large{\frac{b}{a}}=\large{\frac{3}{4}}\) ครับ และขนาดของภาพก็ประมาณ \(\large{\frac{3}{4}}\) เช่นกันครับ
เวลาที่ \(a=b\) นั่นคือ \(m=1\)
เอาสมการ \(③\hspace{12pt}b=\large{\frac{fa}{a-f}}\) ไป
แทนในสมการ \(a=b\) ได้ว่า
\begin{align}
\hspace{18pt}a&=\large{\frac{fa}{a-f}} \\
\therefore \hspace{12pt}1&=\large{\frac{f}{a-f}} \\
\therefore \hspace{12pt}\large{a}&\large{-f=f} \\
\end{align}
\(\large{\therefore\hspace{12pt}a=2f}\)
ถ้าวาดภาพอธิบายเหตุการณ์นี้จะได้ดังรูปด้านล่างครับ
เวลาที่อยากจะได้ความสูงภาพคงไว้เท่ากับความสูงวัตถุ จำเป็นจะต้องวางวัตถุไว้ที่ระยะ 2 เท่าของระยะโฟกัสครับ
เนื่องจาก \(a=b\) และ \(a=2f\) ดังนั้น \(a=2f=b\) ครับ
เวลาที่ \(a<b\) นั่นคือ \(m>1\)
เอาสมการ \(③\hspace{12pt}b=\large{\frac{fa}{a-f}}\) ไป
แทนในอสมการ \(a<b\) ได้ว่า
\begin{align}
\hspace{18pt}a&<\large{\frac{fa}{a-f}} \\
\therefore \hspace{12pt}1&<\large{\frac{f}{a-f}} \\
\therefore \hspace{12pt}\large{a}&\large{-f<f} \\
\end{align}
\(\large{\therefore\hspace{12pt}a<2f}\)
ถ้าวาดภาพอธิบายเหตุการณ์นี้จะได้ดังรูปด้านล่างครับ
เวลาที่อยากจะทำให้กำลังขยายมากกว่า \(1.0\) จำเป็นจะต้องวางวัตถุไว้ใกล้กว่า 2 เท่าของระยะโฟกัสครับ
ในรูปด้านซ้าย \(\large{\frac{b}{a}}=\large{\frac{4}{3}}\) ครับ และขนาดของภาพก็ประมาณ \(\large{\frac{4}{3}}\) เช่นกันครับ
จะลองสรุปทั้ง 3 แบบและวาดภาพขึ้นมาดูครับ
ขนาดของภาพ (BB’) จะเปลี่ยนไปตามตำแหน่งที่วางวัตถุ (AA’) ครับ
เวลาที่วางวัตถุไว้ ใกล้กว่าระยะโฟกัส
เวลาที่วางวัตถุไว้ใกล้กว่าระยะโฟกัส รังสีแสงจะกระจายออก ทำให้ไม่สามารถผูกเป็นภาพ (สร้างภาพ) ขึ้นมาได้อีกต่อไปครับ ต่อให้วางฉากไว้ ก็จะปรากฏเพียงสีออกแดง ๆ เบลอ ๆ ที่ดูไม่ออกว่าเป็นเทียนหรือเป็นอะไรครับ
แต่ว่าถ้าเป็นแบบนี้แล้ว จะเกิดอีกเหตุการณ์หนึ่งขึ้นแทนครับ
หากว่ามองเลนส์จากฝั่งตรงข้าม (ฝั่งที่ไม่ได้วางวัตถุไว้ หรือ ฝั่ง F2) จะเห็นวัตถุที่มีขยายใหญ่ขึ้นครับ
(ถ้าพูดให้ตรงจริง ๆ จะต้องพูดว่า) “มนุษย์รู้สึกว่าขยายใหญ่ขึ้น” ครับ เรียกว่าเป็นภาพลวงตาก็ได้ครับ
ถ้าลองคิดไปตามหลัก (1) ของ ภาพที่เกิดจากเลนส์ (เลนส์นูน) ดู รังสีแสงที่พุ่งออกจากจุด A ที่มุ่งไปทางจุด P จะผ่านจุด F2 ครับ ถ้าคิดไปตามหลัก (2) ดูแล้ว รังสีแสงจากจุด A ที่มุ่งไปยังจุด O จะเดินทางต่อไปตรง ๆ แบบนั้นครับ รังสีแสง 2 เส้นนี้ดูราวกับว่าออกมาจากจุด B ครับ พูดอีกอย่างก็คือ หากมองเทียนผ่านอีกด้านหนึ่งของเลนส์ดูแล้ว จะราวกับว่าเห็น BB’ ที่ขยายใหญ่ขึ้นอยู่ตรงนั้นครับ
##?มนุษย์เราจะเอาภาพที่มองเห็นจากหลาย ๆ มุมมองไปคำนวณในสมองในช่วงเสี้ยววินาทีและจับความรู้สึกใกล้ไกลครับ
ใช้ตาซ้ายขวา2ด้านครับ
หากว่าเป็นระยะไม่กี่เมตร ตาข้างเดียวก็สามารถจับความรู้สึกใกล้ไกลได้ครับ เพราะว่ารูม่านตา (เรตินา) ##มีขนาดนั่นเองครับ (ไม่เป็นจุด)
แต่เราไม่สามารถจับความรู้สึกใกล้ไกลของดาวบนท้องฟ้ายามราตรีได้ครับ เป็นเพราะว่าระยะห่างระหว่างตาซ้ายและตาขวา หรือ ขนาดของรูม่านตาของมนุษย์เรา นั้น เมื่อเทียบกับระยะทางหลายหมื่นปีแสงแล้ว ถือว่าเล็กเกินไปมาก ๆ ครับ หากว่ารูม่านตาเรามีขนาดประมาณโลกแล้ว เราอาจจะสามารถจับความรู้สึกใกล้ไกลของดวงดาวได้ครับ
ภาพนี้เป็นภาพที่มนุษย์รู้สึกในสมอง แม้จะนำฉากไปวางก็จะไม่ปรากฏภาพให้เห็นครับ เรียกภาพแบบนี้ว่า ภาพเสมือน ครับ นอกจากนี้ ภาพนี้ยังไม่ใช่ ภาพหัวกลับ แต่เป็น ภาพหัวตั้ง ครับ
จะหาความสัมพันธ์ของ \(a,b,f\) ครับ
เนื่องจาก \(\color{lime}{\triangle {\rm AA’O}}\) คล้ายกับ \(\color{orange}{\triangle {\rm BB’O}}\) ดังนั้น
\(\color{#b63}{\large{\frac{\mathrm{BB}^{\prime}}{\mathrm{AA}^{\prime}}}}=\large{\frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{O}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O}}}=\large{\frac{b}{a}}\)
นอกจากนี้ เนื่องจาก \({\rm AA'}={\rm PO}\) และ \(\color{lime}{\triangle {\rm POF_{2}}}\) คล้ายกับ \(\color{orange}{\triangle {\rm BB’F_{2}}}\) ดังนั้น
\({\color{brown}{\large\frac{\mathrm{BB}^{\prime}}{\mathrm{AA}^{\prime}}}}={\large{\frac{\mathrm{BB}^{\prime}}{\mathrm{PO}}}}={\large{\frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{F}_{2}}{\mathrm{OF}_{2}}}}={\large{\frac{b+f}{f}}}\)
ดังนั้นแล้ว
\begin{align} \large{\frac{b}{a}}&=\large{\frac{b+f}{f}} \\ &=\large{\frac{b}{f}}+1 \hspace{18pt} (หารด้วย \;b\; ทั้งสองข้าง)\\ \therefore \hspace{12pt}\large{\frac{1}{a}}&=\large{\frac{1}{f}}+\large{\frac{1}{b}} \\ \therefore \hspace{12pt}\large{\frac{1}{a}}&-\large{\frac{1}{b}}=\large{\frac{1}{f}}\hspace{12pt} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot ④ \end{align}
ในสมการนี้ เนื่องจาก \(f>0\) ดังนั้น ฝั่งขวาของสมการเป็นบวก นั่นคือ ฝั่งซ้ายก็เป็นบวกด้วย จึงได้ว่า
\begin{align} \hspace{18pt}\large{\frac{1}{a}}&-\large{\frac{1}{b}}\gt 0 \\ \therefore \hspace{12pt}\large{\frac{1}{a}}&\gt \large{\frac{1}{b}}\hspace{18pt} (เนื่องจาก \;b\; มากกว่า\; 0)\\ \therefore \hspace{12pt}\large{\frac{b}{a}}&\gt \large{1} \end{align}
เพราะว่า \(m=\large{\frac{b}{a}}\) กล่าวคือ \(m>1\) นี่ทำให้เราพูดอีกอย่างได้ว่า ภาพเสมือนจะถูกขยายขนาดใหญ่ขึ้นเสมอนั่นเองครับ
สรุปของเลนส์นูน
สมการที่ \(②\) และ \(④\) นั้น แตกต่างกันแค่ส่วนที่เป็น + และส่วนที่ - เท่านั้นครับ หากว่ากำหนดให้ขนาดของ \(b\) เป็นลบเมื่อวางวัตถุไว้ใกล้กว่าระยะโฟกัส (นั่นคือกรณีที่เลนส์นูนให้ภาพเสมือน) แล้ว จะสามารถรวมสมการทั้ง 2 เป็นสมการเดียวได้ครับ
\begin{aligned}
&\large{\frac{1}{a}}+\large{\frac{1}{b}}=\large{\frac{1}{f}}\\
&m=\large{\frac{|b|}{a}}
\end{aligned}
เวลาที่เกิดภาพจริงด้านหลังเลนส์ \(b\gt 0\)
เวลาที่เกิดภาพเสมือนด้านหน้าเลนส์ \(b\lt 0\hspace{24pt} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot ⑤\)
ใน บทถัดไป จะแสดงว่าสมการนี้สามารถขยายให้ใช้กับเลนส์เว้าได้ด้วยครับ
"เมื่อเปลี่ยนตำแหน่งที่วางวัตถุ ภาพจะเปลี่ยนไปอย่างไร ?" ผมได้ลองวาดสรุปเอาไว้ด้านล่างนี้ครับ
จะลองวาดออกมาทุกเฟรมดูนะครับ จุดใหญ่ ● คือจุดโฟกัสครับ และขยับตำแหน่งที่วางเทียนเข้ามาทีละ \(\large{\frac{1}{4}}f\)ครับ
\(a\gt 2f, m\lt 1\)
\(a\gt 2f, m\lt 1\)
\(a= 2f, m= 1\)
\(f\lt a\lt 2f, m\gt 1\)
\(f\lt a\lt 2f, m\gt 1\)
\(f\lt a\lt 2f, m\gt 1\) ไม่ได้แปลว่าไม่เกิดภาพครับ แค่ไม่สามารถวาดหมดในกรอบได้ครับ
\(a=f, m=∞\) เส้นสีแดงขนานกันไปครับ
\(a\lt f, b\lt 0\)
\(a={\frac{1}{2}} f,|b|=f\)
แทน \(a=\frac{1}{2} f\) ลงใน \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}\)
จะได้ว่า \(b=-f\) ครับ
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น