กระจกนูน
ภาพที่กระจกนูนสร้าง
หาความสัมพันธ์ระหว่างทุกปริมาณ
จะลองคิดถึงความสัมพันธ์ของตัวแปรเหล่านี้ เวลาที่รังสีแสงที่ออกจากวัตถุ สะท้อนที่กระจกนูน และเกิดเป็นภาพขึ้นดูครับ
ระยะจากวัตถุถึงกระจก \(:a\)
ระยะจากกระจกถึงภาพ \(:b\)
ระยะโฟกัส \(:f\)
รัศมีทรงกลม \(:R\)
รังสีแสงที่ใช้เป็นตัวแทน
แม้ว่าเราจะสามารถคิดถึงเส้นทางของรังสีแสงที่พุ่งออกจากวัตถุได้เป็นอนันต์แบบก็ตาม แต่ว่ารังสีที่เป็นตัวแทนคือ \(4\) เส้นด้านล่างนี้ครับ
\(\color{red}{①}\) รังสีแสงที่ขนานกับแกนแสงจะสะท้อนกลับและเดินทางไปราวกับออกมาจากจุดโฟกัส
\(\color{red}{②}\) รังสีแสงที่มุ่งไปยังจุดโฟกัสจะสะท้อนกลับและเดินทางขนานไปกับแกนแสง
\(\color{red}{③}\) รังสีแสงที่มุ่งไปยังจุดศูนย์กลางทรงกลมจะสะท้อนกลับและและเดินทางกลับเส้นทางเดิม
\(\color{red}{④}\) จากกฏการสะท้อน มุมตกกระทบ = มุมสะท้อน
จากนี้ จะใช้รังสีแสง 2 เส้นใด ๆ จากในบรรดา 4 เส้นนี้ในการคิดต่อไปครับ มีวิธีคิดมากมายครับ
ภาพที่กระจกนูนสร้าง
ในบรรดารังสีแสงที่เขียนไว้ด้านบนนั้น จะลองเอารังสี \(\color{red}{①}\) และ\(\color{red}{②}\) และสามเหลี่ยมที่เกิดจากรังสีทั้งสองนี้ มาพิจารณาดูครับ
กำหนดตัวแปรตามรูปซ้ายมือครับ
เนื่องจาก (สามารถมองว่า) \(\color{green}{\triangle {\rm AA'F}}\) คล้ายกับ \(\color{green}{\triangle {\rm PB''F}}\) ได้ ดังนั้น
\({\rm\large{\frac{P B^{\prime \prime}}{A A^{\prime}}}=\large{\frac{P F}{A F}}}=\large{\frac{f}{a+f}}\)
และนอกจากนี้ เนื่องจาก PB" = BB' เมื่อแทนลงในสมการด้านบนจะได้
\({\rm\large{\frac{B B'}{A A'}}}=\large{\frac{f}{a+f}}\hspace{12pt} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot ①\)
เนื่องจาก \(\color{orange}{\triangle {\rm PA''F}}\) คล้ายกับ \(\color{orange}{\triangle {\rm BB'F}}\) ดังนั้น
\({\rm\large{\frac{B B'}{P A''}}=\large{\frac{B F}{P F}}}=\large{\frac{f-b}{f}}\)
และนอกจากนี้ เนื่องจาก PA" = AA' เมื่อแทนลงในสมการด้านบนจะได้
\({\rm\large{\frac{B B'}{A A'}}}=\large{\frac{f-b}{f}}\hspace{12pt} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot ②\)
เนื่องจากสมการ \(①\) และสมการ \(②\) มีด้านซ้ายมือร่วมกัน ดังนั้น
\(\hspace{18pt}\large{\frac{f}{a+f}}=\large{\frac{f-b}{f}}\)
\(\therefore \hspace{12pt} f^{2}=(f-b)(a+f) \)
\(\therefore \hspace{12pt} f^{2}=af-ab+f^{2}-bf \)
\(\therefore \hspace{12pt} 0=a f-ab+0-bf \)
\(\therefore \hspace{12pt} bf - af = -ab \hspace{18pt}\) หารด้วย \(abf\) ทั้งสองข้าง
\(\therefore \hspace{12pt} \large{\frac{b f}{a b f}}-\large{\frac{a f}{a b f}}=-\large{\frac{a b}{a b f}}\)
\(\therefore \hspace{12pt} \large{\frac{1}{a}}-\large{\frac{1}{b}}=-\large{\frac{1}{f}}
\hspace{12pt} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot ③\)
นี่คือสูตรการเกิดภาพของกระจกนูนครับ
ถ้าลองดูสมการนี้ดี ๆ จะเห็นว่า เมื่อ \(a → ∞\) (พจน์แรกของฝั่งซ้ายมือเป็น \(0\)) แล้ว \(b=f\) ครับ นอกจากนี้ ดังที่จะอธิบายต่อไปจากนี้ เนื่องจากกำลังขยายเท่ากับ \(\large{\frac{b}{a}}\) ในกรณีที่ \(a → ∞\) ก็จะประมาณ \(0\) ครับ ถ้าหากวางวัตถุไว้ไกลจากกระจกนูนมาก ๆ จะเกิดภาพขนาดเล็กมาก ๆ ใกล้ ๆ กับจุดโฟกัสนั่นเองครับ
กำลังขยาย
กำลังขยาย คือ อัตราส่วนที่บอกว่าวัตถุถูกขยายขึ้นเท่าไหร่ หดเล็กลงเท่าไหร่ พูดอีกอย่างก็คือ \({\rm\large{\frac{B B'}{A A'}}}\) ครับ กำหนดแทนด้วย \(m\) ไว้ก่อนครับ
ลองพิจารณาดู \({\triangle {\rm AA'P}}\) และ \({\triangle {\rm BB'P}}\)
จากกฏการสะท้อน \(α=β\)
เนื่องจากมุมตรงข้ามเท่ากัน \(β=γ\)
ดังนั้น \(α=γ\)
ดังนั้น \({\triangle {\rm AA'P}}\) คล้ายกับ \({\triangle {\rm BB'P}}\)
ที่เกิดจากรังสี \(\color{red}{④}\) ซึ่งเป็นหนึ่งในรังสีแสงที่ใช้เป็นตัวแทนดังที่ได้อธิบายไว้ ด้านบน ก็จะเห็นได้ชัดเลยว่า \(m={\rm\large{\frac{B B'}{A A'}}}=\large{\frac{b}{a}}\) ครับ
กำลังขยายของภาพ ก็คือ อัตราส่วนของระยะ(จากวัตถุและจากภาพ) จนถึงกระจกนั่นเองครับ
นอกจากนี้ สำหรับกรณีกระจกนูน กำลังขยายจะไม่มากไปกว่า \(1.0\) ครับ
BB' จะไม่ใหญ่กว่า AA' ครับ
เนื่องจากภาพจะถูกย่อส่วนลงเสมอ ดังนั้นกระจกนูนจึงไม่สามารถใช้เป็นแว่นขยายได้ครับ เลนส์เว้าก็เป็นเช่นเดียวกันครับ
ภาพเสมือนหัวตั้ง
เวลามองจากด้านหน้าของกระจก( สำหรับรูปด้านซ้ายคือด้านซ้ายมือของกระจก) มนุษย์จะรู้สึกในสมองราวกับภาพที่กระจกนูนสร้างขึ้นนั้น เกิดขึ้นที่ด้านหลัง (ด้านตรงข้าม) ของกระจกครับ พูดอีกอย่างก็คือภาพเสมือนครับ และยังไม่ใช่ภาพหัวกลับแต่เป็นภาพหัวตั้งครับ
สำหรับกระจกเว้านั้น ลักษณะการเกิดภาพเวลาที่วางวัตถุไว้ไกลกว่าจุดโฟกัส และ เวลาที่วางไว้ใกล้กว่าจุดโฟกัสจะแตกต่างกันครับ แต่ว่ากระจกนูนจะไม่มีความแตกต่างครับ ไม่ว่าจะวางไว้ใกล้หรือไกลก็จะเกิดภาพเสมือนหัวตั้งครับ
ระยะโฟกัสคือครึ่งหนึ่งของรัศมี
ต่อไป จะค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างระยะโฟกัสและและรัศมีดูครับ
ลองพิจารณาดูสามเหลี่ยมที่เกิดจากรังสีแสง \(\color{red}{③}\) ที่เป็นรังสีตัวแทน ตามที่ได้แสดงไว้ด้านบนครับ จะเห็นว่า เนื่องจาก \(\triangle {\rm AA’O}\)
คล้ายกับ \(\triangle {\rm BB’O}\) ดังนั้น
\({\rm\large{\frac{B B^{\prime}}{A A^{\prime}}}=\large{\frac{BO}{A O}}}=\large{\frac{R-b}{a+R}}\)
เมื่อรวมเข้ากับสูตรกำลังขยายที่อธิบายไว้ด้านบน
\(m={\rm\large{\frac{B B^{\prime}}{A A^{\prime}}}}=\large{\frac{b}{a}}\)
จะได้ว่า
\(\hspace{18pt}\large{\frac{R-b}{a+R}}=\large{\frac{b}{a}}\)
\(\therefore \hspace{12pt} a R-a b=a b+b R \)
\(\therefore \hspace{12pt} a R-b R=2 a b \hspace{18pt}\) หารด้วย \(abR\) ทั้งสองข้าง
\(\therefore \hspace{12pt} \large{\frac{a R}{a b R}}-\large{\frac{b R}{a b R}}=\large{\frac{2ab}{a b R}}\)
\(\therefore \hspace{12pt} \large{\frac{1}{b}}-\large{\frac{1}{a}}=\large{\frac{2}{R}}\)
\(\therefore \hspace{12pt} \large{\frac{1}{a}}-\large{\frac{1}{b}}=-\large{\frac{2}{R}}\)
เมื่อลองเปรียบเทียบสูตรนี้เข้ากับสูตรการเกิดภาพสำหรับกระจกนูน \(③\) ที่ได้แสดงไว้ด้านบน
\(\large{\frac{1}{a}}-\large{\frac{1}{b}}=-\large{\frac{1}{f}}\)
ได้ว่า
\(\hspace{18pt}-\large{\frac{1}{f}}=-\large{\frac{2}{R}}\)
\(\therefore \hspace{12pt} f=\large{\frac{R}{2}}\)
นั่นคือระยะโฟกัสคือครึ่งหนึ่งของรัศมีครับ เหมือนกับกรณีของกระจกเว้าครับ
สรุปของกระจกนูน
หากกำหนดให้ \(b\) และ \(f\) มีค่าเป็นบวกได้เท่านั้น เราจะสามารถแสดงสมการการเกิดภาพสำหรับกระจกนูนได้ดังนี้ครับ
\(\large{\frac{1}{a}}-\large{\frac{1}{b}}=-\large{\frac{1}{f}}\)
กระจกนูนเกิดภาพเสมือนหัวตั้งเสมอ
\(m=\large{\frac{b}{a}} \lt 1\)
←กระจกเว้าของบทที่แล้ว
กระจกนูนของบทนี้→
สรุปของกระจกเงาทรงกลม
สูตรของกระจกนูนและสูตรของกระจกเว้าสามารถสรุปรวมกันได้
ในทำนองเดียวกับที่สูตรของเลนส์นูนและสูตรของเลนส์เว้าสามารถสรุปรวมกันได้ สูตรของกระจกนูนและสูตรของกระจกเว้าก็สามารถสรุปรวมกันได้เช่นกันครับ
จะรวมสามรูปแบบดังต่อไปนี้ (ซึ่งนิยามให้ \({\color{blue}b}\) และ \({\color{blue}f}\) มีค่าเป็นบวกเท่านั้น) ให้เป็นหนึ่งเดียว โดยให้ กลายเป็นสมการที่ตัวแปร \(b\) และ \(f\) สามารถมีค่าเป็นลบได้ครับ\(\hspace{12pt}\large{\frac{1}{a}}+\large{\frac{1}{{\color{blue}b}}}=\large{\frac{1}{{\color{blue}f}}}\hspace{18pt}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot \) สูตรกระจกเว้า เวลาที่ไกลกว่าจุดโฟกัส
\(\hspace{12pt}\large{\frac{1}{a}}- \large{\frac{1}{{\color{blue}b}}}=\large{\frac{1}{{\color{blue}f}}}\hspace{18pt}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\) สูตรกระจกเว้า เวลาที่ใกล้กว่าจุดโฟกัส
\(\hspace{12pt}\large{\frac{1}{a}}- \large{\frac{1}{{\color{blue}b}}}= -\large{\frac{1}{{\color{blue}f}}}\hspace{12pt}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\) สูตรของกระจกนูน
สูตรของกระจกเงาทรงกลม (สูตรการเกิดภาพ)
\(\boldsymbol{\large{\frac{1}{a}}+\large{\frac{1}{b}}=\large{\frac{1}{f}}}\)
กำลังขยาย \(:\boldsymbol{m=\large{\frac{|b|}{a}}}\)
ระยะจากวัตถุถึงกระจกเงาทรงกลม \(:a\) : เป็นบวกเสมอ
ระยะจากกระจกเงาทรงกลมถึงภาพ \(:b\) : ด้านหน้ากระจกเงาทรงกลมเป็นบวก ด้านหลังกระจกเงาทรงกลม (ด้านตรงข้าม) เป็นลบ
ระยะโฟกัส \(:f\) : ด้านหน้ากระจกเงาทรงกลมเป็นบวก (กระจกเว้า) ด้านหลังกระจกเงาทรงกลมเป็นลบ (กระจกนูน)
จะสรุปรวมค่าบวกลบของปริมาณต่าง ๆ ในสูตรของกระจกเงาทรงกลมดูครับ
| กระจกเว้า | กระจกนูน | ||
|---|---|---|---|
| ตำแหน่งของวัตถุ \(a\) | กำหนดให้เป็นบวก | ||
| ตำแหน่งสัมพัทธ์กับจุดโฟกัส | \(a \gt f\) | \(a \lt f\) | |
| ตำแหน่งของภาพ \(b\) | บวก | ลบ | ลบ |
| ชนิดของภาพ | ภาพจริงหัวกลับ | ภาพเสมือนหัวตั้ง | ภาพเสมือนหัวตั้ง |
| ตำแหน่งของจุดโฟกัส \(f\) | บวก | ลบ | |
ดูเทียบกับสูตรของเลนส์
ลองดูสูตรของกระจกเงาทรงกลมเทียบกับสูตรของเลนส์ดูนะครับ เกือบจะเหมือนกันทุกประการเลยครับ
สูตรของเลนส์ (สูตรการเกิดภาพ)
\(\boldsymbol{\large{\frac{1}{a}}+\large{\frac{1}{b}}=\large{\frac{1}{f}}}\)
กำลังขยาย \(:\boldsymbol{m=\large{\frac{|b|}{a}}}\)
ระยะจากวัตถุถึงเลนส์ \(:a\) : เป็นบวกเสมอ
ระยะจากเลนส์ถึงภาพ \(:b\) : ด้านหลังเลนส์เป็นบวก ด้านหน้าเลนส์เป็นลบ
ระยะโฟกัส \(:f\) : เลนส์นูนเป็นบวก เลนส์เว้าเป็นลบ
| เลนส์นูน | กระจกเว้า | ||
|---|---|---|---|
| ตำแหน่งของวัตถุ \(a\) | กำหนดให้เป็นบวก | ||
| ตำแหน่งสัมพัทธ์กับจุดโฟกัส | \(a \gt f\) | \(a \lt f\) | |
| ตำแหน่งของภาพ \(b\) | บวก | ลบ | ลบ |
| ชนิดของภาพ | ภาพจริงหัวกลับ | ภาพเสมือนหัวตั้ง | ภาพเสมือนหัวตั้ง |
| ตำแหน่งของจุดโฟกัส \(f\) | กำหนดให้เป็นบวก | กำหนดให้เป็นลบ | |
หากวาดภาพเลนส์นูน เลนส์เว้า กระจกนูน กระจกเว้า พร้อมกันจะได้ดังรูปด้านล่างนี้ครับ
จะแบ่งเรื่องของ
เลนส์ (เลนส์นูน เลนส์เว้า) ไว้เป็นกลุ่มวิชาทัศนศาสตร์เชิงหักเห
กระจกเงาทรงกลม (กระจกเว้า กระจกนูน) ไว้เป็นกลุ่มวิชาทัศนศาสตร์เชิงสะท้อน ครับ
ตอนเลนส์จะมีจุดโฟกัส \(2\) จุด แต่กระจกเงาทรงกลมจะมี \(1\) จุดครับ
จุดซึ่งอยู่ที่ระยะสองเท่าของระยะโฟกัสถือเป็นจุดสำคัญจุดหนึ่งครับ ในกรณีของกระจกเงาทรงกลมแล้วคือรัศมีของทรงกลมครับ
สำหรับรูปแบบของภาพ เวลาที่เกิดภาพหัวกลับจะเป็นภาพจริง และ เวลาที่เกิดภาพหัวตั้งจะเป็นภาพเสมือนครับ
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น